复数运算
在高中，我们学习过复数的基础概念。形如 \(x+yi\) 的被称为复数，其中 \(x\) 为实部，\(y\) 为虚部，其计算方式如下：
复数加法和减法
复数的加减法运算遵循以下规则进行：
$$(x_1+y_1i) + (x_2 + y_2i) = (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2)i$$
复数乘法
复数乘法遵循以下规则进行：
$$
\begin{array}{l}(x_1 + y_1i) \times (x_2 + y_2i) &=& x_1\times x_2 + x_1 \times y_2i + y_1i \times x_2 + y_1i \times y_2i \\
&=& x_1\times x_2 + x_1 \times y_2i + y_1i \times x_2 – y_1 \times y_2 \end{array}
$$
复数除法
复数除法遵循以下规则进行：
$$
\dfrac{x_1 + y_1i}{x_2 + y_2i} = \dfrac{(x_1 + y_1i)(x_2-y_2i)}{(x_2 + y_2i)(x_2-y_2i)}
$$
求实部 \(\Re\) 和虚部 \(\Im\)
对于一个复数 $a+bi$，求实部和虚部：
- \(\Re(x) = a\)
- \(\Im(z) = b\)
例如，对于 $1+2i$，则有如下解：
- \(\Re(x) = 1\)
- \(\Im(z) = 2\)
对于 $4 – 2i$，有如下解：
- \(\Re(x) = 4\)
- \(\Im(z) = -2\)
求模、辐角、辐角主值
对于一个复数 \(a+bi\)，求实部和虚部：
- \(\Re(x) = a\)
- \(\Im(z) = b\)
此时，其模 \(|z|\) 有以下解法：
$$|z| = \sqrt{[\Re(x)]^2 + [\Im(x)]^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$$
将实部与虚部放到复平面中（实部 = x，虚部 = y），则辐角主值和辐角为：
$$\arg(z) ∈ (-\pi , \pi ]$$
$$\text{Arg}(z) = \arg(z) + 2k\pi$$
对于计算 \(\text{Arg}\)，有以下情况对应公式：
$$
\mathrm{Arg}(z)=
\begin{cases}
\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right), & x>0, \\
\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)+\pi, & x<0,\ y\ge 0, \\
\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)-\pi, & x<0,\ y<0, \\
\dfrac{\pi}{2}, & x=0,\ y>0, \\
-\dfrac{\pi}{2}, & x=0,\ y<0.
\end{cases}
$$
这一定义不依赖任何“特殊角记忆”，对所有复数都有效。
其中，\(\arctan t = \theta,\ \ \tan\theta = t \)
求复数开方
若要求 \(^4\sqrt{16} = ^4\sqrt{16 + 0i}\)，用以下公式：
$$\displaystyle ^n\sqrt{z} = |z|^{n} \times \Bigg( \cos{\frac{\theta + 2k\pi}{n}} + i \times \sin{\frac{\theta + 2k\pi}{n}}\Bigg), k = 1,2,\cdots n-1$$
将题目中的内容逐一代入即可。
代数式、三角式和指数式
对于代数式、三角式和指数式，其公式如下：
- 代数式：$z = a + bi$
- 三角式：$z = r(\cos\theta +\sin\theta)$
- 指数式：$z = re^{i\theta}$
其中，三者变量间的换算方式如下：
- $r = \sqrt{a^2 + b^2}$
- $\theta = \arg(z)$（辐角主值）
- $a = r\cos\theta$
- $b = r\sin\theta$
通过以上转换公式，即可以完成代数式、三角式和指数式间的转换。
复数方程
复数方程和一般方程
一般方程转复数方程
对于一般方程 $ Ax + By + C = 0$（$Ax + By = C$），若要将其转化为复数形式，只需将以下两个式子代入到原方程中：
- $\displaystyle x = \frac{z + \bar{z}}{2}$
- $\displaystyle y = \frac{z-\bar{z}}{2i}$
随后，化简为形如 $Dz + E\bar{z} + F = 0$ 的形式即可。
复数方程转直角坐标方程方程
面对「将 $\Re(A + \bar{z}) = B$ 或 $\Re(A + z) = B$ 化为直角方程」类题，只需将以下两个式子代入原方程：
- $z = x + yi$
- $\bar{z} = x – yi$
随后，将求出的实部代入回题中 $\Re$ ，求出 x = … 或 y = … 即为直角坐标方程。
复数方程和参数方程
参数方程转复数方程
对于形如 $\displaystyle \begin{cases} x &=& \dots \\ y &=& \dots\end{cases}$ 的参数方程，若要求其复数方程，仅需将该方程直接代入到 $z = x + yi$ 并进行化简即可。
复数方程化参数方程
对于一个形如 $z = A + Bi$ 的方程，若要将其转化为参数方程，只需从原方程中分离出实部和虚部，并写成 $\displaystyle \begin{cases} x &=& \text{实部} \\ y &=& \text{虚部}\end{cases}$
例如，对于 $z = (1 + i)t + 2 + i$，将其展开可得到实部为 $t + 2$，虚部为 $ t + i$，则可得到参数方程：
$\displaystyle \begin{cases}x &=& t + 2 \\ y &=& t + i\end{cases}$
映射的象
已知复数方程求象
已知某一复数方程 $z = \dots$，则其映射的象有 $\text{w} = z^2$
已知辐角主值范围求象
已知一复数的辐角主值为 $A < \arg(z) < B$，求其在映射方程 $\text{w} = z^2$ 下的象，只需遵循以下方法：
- 设 $z = re^{i\theta}$，将其代入映射方程 $\text{w} = z^2$
- 用 $\theta$ 表示 $\arg(\text{w})$
$\arg(\text{w}) = \text{上一步中求的的 e 的次方内的 i 的系数}$
例如在这一例题的映射方程下，第一步代入得到 $\text{w} = r^2 e^{2\theta \times i}$，则这一步中 $\arg(\text{w}) = 2\theta$ - 计算：$\arg(\text{w}) = \dfrac{\arg{(\text{w})}}{\theta} \times \arg(z)$ 并将题中范围代入即可
已知 $x, y$ 表示的方程，求象
已知某一方程，要求其在映射方程下的象。例如已知 $2(x^2 + y^2) + 3x – 4y +1 = 0$，求其在映射 $\text{w} = \dfrac{1}{z}$ 下的象：
- 获得映射方程的反函数（$z = \dfrac{1}{\text{w}}$，即将 $\text{w} = \dots$ 化为 $z = \dots $ 形式），并将 $z = x + yi, \text{w} = u + vi$ 代入其中。
- 用式子右侧实部和虚部表示左侧 x, y。在此例题中，上一步代入得到 $\displaystyle x + yi = \frac{1}{u + vi}$，分母合理化后为 $x + yi = \dfrac{u}{u^2 + v^2} + \dfrac{-v}{u^2 + v^2} i$，则有以下情况：
- $x = \dfrac{u}{u^2 + v^2}$
- $y = \dfrac{-v}{u^2 + v^2}$
- 将第二步得到的 $x,y$ 代回原方程，化简即可。
