三角函数
在复变三角函数中，有以下需记住的公式：
- $\sin z = \dfrac{e^{iz} – e^{-iz}}{2i}$
- $\cos z = \dfrac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$
信息
在复变函数中，$\sin z, \cos z$ 的取值范围为 $(-∞, + ∞)$， 而非 $[-1, 1]$
在求某复数的三角函数时（例如求 $\cos 2i$ 的三角函数时，代入上方公式即可。
对数函数
在复变对数函数中，有以下需要记住的公式：
- $\text{Ln}z = \ln |z| + i\arg(z) + 2k\pi i$
其中 $|z| = \sqrt{\text{实部}^2 + \text{i 前系数}^2}$
对于特殊 $|e^z| = e^x$
在已知 $z = \dots$，求 $\text{Ln}z$ 的题目中，将上式代入即可。
注意
若题目为已知 $z = \dots$，求 $\ln z$ 或求 $\text{Ln} z$ 的主值，则其所求为上式的前半部分：
$\text{Ln}z = \ln |z| + i\arg(z)$
指数函数
求复变指数函数
在复变指数函数中，存在以下公式：
- $e^z = e^x \times (\cos y + i\sin y)$
若题中已知 $z = \dots$，则将 z 代入上方公式即可。或题中要直接计算 $e^{x+yi}$，也可直接代入上式即可。
注意
- 对于特殊有 $|e^z| = e^x$
- $e^z$ 是周期函数，有 $e^{z + 2k\pi i} = e^z$
从指数函数求 $z$
情景例题：已知 $e^z – 1 – i = 0$，若要求 $z$，遵循以下步骤即可：
- 将原式移项，变为 $e^{\text{█}z} = 1 + i$ 的格式。
- 等式两侧同时取 $\text{Ln}$：
$\text{Ln}(e^z) = \text{Ln}(1+i)$ - 由对数性质（$\begin{array}{l}\log_x(x^b) = b, &b \ne 0 \end{array}$）可得： $\begin{array}{l}
z &=& \text{Ln(1 + i)} \\
z &=& \ln{\sqrt{2}} + \dfrac{\pi}{4} i + 2k\pi i, &k = 0, \pm1, \pm2, \dots
\end{array}$
信息
对于相对复杂的题目场景，若无法通过移项直接得到 $e^{\text{█}z}$，可以通过在等式两侧同时乘以的形式构建。
例如对于 $e^{iz} – 2e^{-iz} = 0$ 的题目，可以通过左右同乘 $e^{iz}$ 的形式，构建以下式子并化简：
$$\begin{align}e^{iz} (e^{iz} – 2e^{-iz}) &= e^{iz} \times 0 \\ e^{2iz} – 2 &=0 \\ e^{2iz} &= 2 \end{align}$$
幂函数
提示
本章节内容（需记忆）较多，若时间紧迫可选择先跳过。
设存在一复数 $z = a + bi$，若要计算其幂函数$z^\alpha$，有如下公式
- α 为整数时，按照实数规则整场计算即可。
- α 为分数时，有：
$\begin{array}{l}
z^{\frac{m}{n}} = r^{\frac{m}{n}} \Bigg[\cos \dfrac{m(\theta + 2k\pi)}{n} + i \times \sin \dfrac{m(\theta + 2k\pi)}{n}\Bigg], & k = 0,1,2,\dots n-1
\end{array}$ - α 为其他情况（例如 α 为复数 $i$ 时，有：
$\begin{align}z^α &= e^{α \times \text{Ln}z} \\ &= e^{a \times [\ln|z| + i\arg(z) + 2k\pi i]} \end{align}$
信息
最后，若 α 为负数，则先按照其绝对值形式参照上述三种办法进行求解，并在最终结果位置变为倒数，即为最终答案。
信息
注意，$0^α = 0$ 依然成立。
解析和调和
复函数导数
一般形式复函数求导
对于形如 $f(z) = u(x,y) + v(x,y) i$ 的一般复函数，其求导方法为：
$f(z) = u'(x,y) + v'(x,y)i$
其中 $u'(x)$ 和 $v'(x)$ 指各部分分别对 $x$ 求导。
例如对于 $f(x) = x^2 + 2y + 2(x + y)i$ ，若要求 $f'(x)$，按照上面的公式有如下解：
分别求实部和虚部关于 x 的导函数，有：
- $u'(x,y) = 2x$
- $v'(x,y) = 2$
得出：
$f'(x) = 2x + 2i$
信息
面对 $u(x,y)$ 中含有 y 或其他字符的情况时，仅需记住：求关于 🟥 的导数，则除了 🟥 之外的任何字符都当作常数 $C$ 看待。
例如对于 $u(x,y) = 2xy + x + 4y + 3$，则其中 y 视为常数：
$u(x,y) = (2y+1) \times x + (4y+3)$
正常计算导数，可得出：
$u'(x,y) = 2y+1$
$f(z) = █z$ 形式复函数求导
对于 f(x) 中没有 x，y 的复函数，其求导方式与常规实数求导无异，固定求导法则也与常规求导法则相同：
- $(e^z)’ = e^z$
- $(\text{Ln}z)’ = \dfrac{1}{z}$
- $(z^α)’ = α z^{α-1}$
- $(\sin z)’ = \cos z$
- $(\cos z)’ = -\sin z$
- $[f(z)\cdot g(z)]’ = f'(x)g(x) + g'(x)f(x)$
- $\displaystyle \Bigg[\frac{f(z)}{g(z)}\Bigg]’ = \frac{f'(z)g(z) – g'(z)f(z)}{g^2(z)}$
判断函数的可导和解析
形如 $f(x) = u(x,y) + v(x,y)i$ 的复函数，判定可导和解析有如下公式：
- 在满足 $\begin{cases}u_x’ = v_y’ \\u_y’ = -v_x’\end{cases}$ 处可导；
- 若 $\begin{cases}u_x’ = v_y’ \\u_y’ = -v_x’\end{cases}$ 时，最终化简结果为 $\begin{cases}x = x \\ y = y\end{cases}$，则在 $(x,y)$ 取值范围内解析，否则处处不解析。
信息
若已知某函数在某范围解析，求其中的某未知数值；则依然将函数构建出 $\begin{cases}u_x’ = v_y’ \\u_y’ = -v_x’\end{cases}$ 格式，并在最终化简的两个式子里构建未知数，使最终式有 $\begin{cases}x = x \\ y = y\end{cases}$ 即可。
证明函数为调和函数
设有函数 $u(x,y)$ ，调和函数需要满足以下条件：
- $u_{xx}”, u_{xy}”, u_{yx}”, u_{yy}”$ 都连续；
- $u_{xx}” + u_{yy}” = 0$
其中 xx 和 yy 为对 x 或 y 的二次求导；xy 和 yx 为先对 x / y 求导，然后再对另一个求导。
提示
连续：即函数在其定义域内不存在断点。
重要
特别注意的是，形如 $f(x) = \dfrac{1}{x}$ 的函数中，虽然函数被分为 $x>0$ 和 $x<0$ 部分，$x=0$ 处中断，但因为 $x=0$ 不属于 $f(x)$ 的定义域，因此 $f(x) = \dfrac{1}{x}$ 依然是连续函数。
