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向量点乘及相关性质
向量点乘是指两个向量的横纵竖坐标各自相乘后相加，或者两个向量的模长相乘后再乘以 cos 夹角。
\begin{array}{l}
\vec a = (x_1, y_1, z_1), \ \ \ \vec b = (x_2, y_2, z_2)\\
\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cos \theta \\
\vec a \cdot \vec b = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 \\
| \vec a| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \\
\vec e_a = \frac {1}{|\vec a|} \cdot (x_1, y_1, z_1) \\
\frac {x_1}{x_2} = \frac {y_1}{y_2} = \frac {z_1}{z_2} \Rightarrow \vec a \parallel \vec b \\
\left.\begin{matrix}
\vec a \cdot \vec b \\
\cos \theta = \cos 90° = 0
\end{matrix}\right\}\Rightarrow \vec a \perp \vec b
\end{array}
向量叉乘 \(\vec a \times \vec b\)
向量叉乘不等于向量点乘。在向量的叉乘中，当存在 \(\vec a \times \vec b = \vec c\) 时，我们可以得出 \(\vec c \perp \vec a \& \vec c \perp \vec b\)。
$$ |\vec a \times \vec b| = |\vec a| |\vec b| \sin \theta $$
如何计算向量叉乘？如下：
$$
\begin{array}{l}
\vec a = (x_1, y_1, z_1), \ \ \ \vec b = (x_2, y_2, z_2)\\
\vec a \cdot \vec b =
\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k\\
x_1 & y_1 & z_1 \\
x_2 & y_2 & z_2 \\
\end{vmatrix} \\
= \vec i(y_1z_2 – y_2z_1) – \vec j (x_1z_2 – x_2z_1) + \vec k (x_1y_2 – x_2y_1) \\
= (y_1z_2 – y_2z_1, \ x_1z_2 – x_2z_1, \ x_1y_2 – x_2y_1)
\end{array}
$$
特别注意，向量的叉乘前后不可互换。\(\vec a \times \vec b \ne \vec b \times \vec a\)
空间平面方程
点法式（一个坐标点+法向量）方程：
已知空间内有一坐标点\(P(x_0,y_0,z_0)\)，以及一个向量\(\vec n = (A,B,C)\)，那么这个点和向量构成的平面的平面方程为：
$$ A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0 $$
一般式方程：
将点法式的括号拆开，即可变为空间平面方程的一般式：
$$ Ax+By+Cz – Ax_0-By_0-Cz_0 = 0$$
其中 \((Ax_0+By_0+Cz_0)\) 可以替换为常量 \(D\)，因此一般式一般简化为：
$$ Ax+By+Cz +D = 0$$
点到平面距离公式：
设点到平面的距离为 d，已知空间内有一坐标点\(P(x_0,y_0,z_0)\)，以及一个向量\(\vec n = (A,B,C)\)，则点到平面的距离为：
$$d=\frac {|Ax_0 +By_0 +Cz_0 + D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$
空间直线方程
对称式方程：
已知空间内有一条线 \( l \)，一位于直线上的坐标点\(P(x_0,y_0,z_0)\)，以及与该直线平行的向量\(\vec s = (A,B,C)\)，则 \( l \) 的直线方程为：
$$\frac{x-x_0}{A} = \frac{y-y_0}{B} = \frac{z-z_0}{C}$$
一般式方程：
已知空间内两个平面（\(A_1x+B_1y+C_1z +D_1 = 0\) 和 \(A_2x+B_2y+C_2z +D_2 = 0\)）相交，则平面相交处构成的直线的方程为：
$$ \left \{ \begin{array}{l}
A_1x+B_1y+C_1z +D_1 = 0 \\
A_2x+B_2y+C_2z +D_2 = 0
\end{array} \right.
$$
参数方程：
$$\frac{x-x_0}{A} = \frac{y-y_0}{B} = \frac{z-z_0}{C} = t$$
令对称式方程的三个代数式等于 t，再将自变量 x、y、z 移项以得到参数方程：
\(\left \{ \begin{matrix}
\frac{x-x_0}{A} = t \\
\frac{y-y_0}{B} = t \\
\frac{z-z_0}{C} = t
\end{matrix} \right.\) \( \Rightarrow \) \(\left \{ \begin{matrix}
x = At+ x_0 \\
y = Bt+ y_0 \\
z = Ct+ z_0
\end{matrix} \right.\)
题型解答
已知两个平面求交线方程：
- 首先从两个平面的方程中获得其法向量 \((A,B,C)\)。
- 将两个法向量叉乘得到同时垂直于两个法向量的向量 \(\vec s\)
- 因为 s 同时垂直于两个法向量，法向量垂直于平面。则 s 平行于两个平面，其即为平行于平面交线的向量。
- 令 y 或任意自变量为 0，将其带入到两个平面方程并联立，解出另外两个自变量，得到一个点 \((a, b, c)\)，这个点表示同时位于平面 A 和平面 B 上，也就是这个点位于两平面的交线。
- 通过获得的点和向量 s，可以求出交线的对称式方程。
- 【选】令对称式方程的每一个代数式等于 t，并移项得到该交线的参数方程。
已知一个对称式方程和一个平面方程求交点：
对于这种题，我们可以如下解决：
- 先将对称式方程转化为参数方程。
- 将参数方程的 x、y、z 代入到平面方程中求出 t
- 将 t 代回参数方程，所求的 x，y，z 即为交点坐标。