蝶儿导读
文章介绍了高等数学中梯度、方向导数与多元函数极值的基本计算方法。梯度通过函数对各变量的偏导数在某点的取值确定，方向导数为梯度与方向单位向量的点积，其最大值等于梯度的模长。多元函数极值求解需先找驻点，即一阶偏导为零的点，如函数$f(x,y)=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x$的驻点为$(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2)$，再利用二阶偏导数构成的判别式$AC-B^2$判断极值存在性及类型。
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为实现高等数学快速学成之目的，故此页面不展示详细理论、性质等信息。
梯度
所谓求某一函数在某一点的梯度，求的就是分别对该函数的 X、Y、Z 分别求偏导数，再将点坐标代入偏导数，所求的三个数就是梯度向量的三个坐标。
梯度的表示方法：\(gradf(x_0,y_0)\) 或 \(\nabla f(x_0,y_0)\).
方向导数
方向导数
求一函数在某点（P）沿某向量（\(\vec l\)方向的方向导数，步骤如下：
- 首先要求该点位置的梯度 \(gradf(x_0,y_0)\)；
- 求 \(\vec l\) 的单位向量（用向量三个方向的分量除以该向量的模长：例如已知 \(\vec l = (x,y,z)\)，则\(\vec e_l = (\frac {x}{|\vec l|} , \frac{y}{|\vec l|}, \frac{z}{|\vec l|})\)）
- 求方向导数：
\(\frac {\partial f}{\partial l} = gradf \cdot \vec e_l\)
方向导数最大值
所谓方向导数最大值，其实就是梯度的绝对值：
$${\frac{\partial f}{\partial l}}\Bigg|_{\max} = |grad f|$$
多元函数极值
必要概念引航：驻点
驻点是指满足一阶偏导同时为 0 的点。以函数 \(f(x,y) = x^3 – y^3 + 3x^2 +3y^2 – 9x\) 其求法如下：
- 分别求偏导数：
对 X 和 Y 分别求偏导数，并让两个偏导数分别得 0，得到以下函数：
$$\left \{ \begin{array}{l}
f’_x = 3x^2 + 6x – 9 = 0 \\
f’_y = -3y^2 + 6y = 0
\end{array} \right.
\Rightarrow (x_0,y_0)
$$
经过计算，所求驻点为：\((1,0), (1,2), (-3,0), (-3,2)\)
求多元函数极值
以上面例子中的函数 \(f(x,y)\) 为例，求某一多元函数的极值，我们一般可以分以下步骤实现：
- 求驻点，驻点为 \((1,0), (1,2), (-3,0), (-3,2)\).
- 求 A、B、C
- A: 将 F 对 X 的偏导数再次对 X 求二阶偏导数 \(f”_{xx}\)
- B: 将 F 对 X 的偏导数再次对 Y 求二阶偏导数 \(f”_{xy}\)
- C: 将 F 对 Y 的偏导数再次对 Y 求二阶偏导数 \(f”_{yy}\)
$$ A = 6x+6, \ \ \ B = 0, \ \ \ C = -6y+6
- 将驻点分别带入到 A、B、C 中的 x 和 y，并计算对应的 \(AC-B^2\)：
$$AC – B^2 =
\left \{ \begin{array}{l}
> 0\ \text{有极值，且}\ A \left \{ \begin{array}{l}
>0, \text{极小值} \\
<0, \text{极大值}
\end{array}\right. \\
<0\ \text{无极值} \\
=0\ \text{不确定}
\end{array}\right.$$
特别提示
1. 驻点不一定是极值点！若 \(AC-B^2 <0\)，就没有极值点！
2. 极值点也不一定是驻点！极值点可能存在于驻点，也可能存在于一阶偏导不存在的点（不常考）
3. 可导函数的极值点一定是驻点。
[扩展] 条件极值求法
本题因考试频率略低，在此不做特殊整理。需要可参考 以下图：
