高等数学: 曲线积分

第一类曲线积分

形如 \(\int_l f(x,y)ds\) 公式形式的函数，被称为第一类曲线积分。第一类曲线积分只讨论大小，不讨论起点和终点。

假设有一根质地柔软的绳，将其无限分割后，取其中一段，当这一段足够小的时候，称这一段为\(ds\)，函数中 f(x,y) 指每一点的密度。那么这一点的质量为 \(dm = f(x,y)ds\)，则这一根绳的质量为 \(m = \int_L f(x,y)ds\)。

物理意义
求一段质地不均匀的绳子的质量。

解题纲要

• 首先画图确定 L 的函数
  \(y=f(x)\)
  \(x=f(y)\)
  \(\left\{\begin{array}{l}x=x(t)\\y=y(t)\end{array}\right.\)

• 计算 ds
  若 L 关于 X，则对 X 求导，关于 Y 则对 Y 求导；若关于 T 则对 T 求导。注意，\( x’^2\) 为先求导后平方。
  $$\begin{array}{l}
  ds = \sqrt{1+y’^2(x)}dx \\
  ds = \sqrt{1+x’^2(y)}dy \\
  ds = \sqrt{x’^2(t)+y’^2(t)}dt
  \end{array}
  $$

• 代入公式计算 \(\int_l f(x,y)ds\)
  积分计算关于 X，则将 \(\int_l f(x,y)ds\) 中的 f(x,y) 的 Y 换成 X 表达的形式，关于 Y，则将 X 换成 Y 表达的形式。
  $$
  \int_l f(x,y)ds =
  \left\{\begin{array}{l}
  \int_{x_1}^{x_2}f[x,f(x)] \sqrt{ 1+y’^2(x)}dx \\
  \int_{y_1}^{y_2}f[y,f(y)] \sqrt{ 1+x’^2(y)}dy \\
  \int_{t_1}^{t_2}f[t,f(t)] \sqrt{x’^2(t) + y’^2(t)}dt
  \end{array}\right.
  $$

例题引航

例如，求 \(y=x^2\) 上点\(0,0\) 到 \(1,1\) 之间的弧的 \(\int_L\sqrt{y}ds\) .

• 确定 L
  待求积分的曲线 L 就是 \(y=x^2\)。
• 计算 \(ds\)
  因为函数是关于 X 的，对 X 求导后平方，得到 \(4x^2\)，代入 \(ds\) 公式得到：
  \(ds = \sqrt{1+4x^2 dx}\)
• 代入第一类曲线积分公式
  代入 \(\int_Lf[x,f(x)] \sqrt{1+y’^2(x)}dx\) 得到：
  \(\int_0^1 x \cdot \sqrt{1+4x^2} dx\)
• 凑微分
  通过凑微分的办法，将复杂部分的函数进行求导：\(d(1+4x^2) = 8x \ dx\)
  将原函数乘以 8 再乘以 \(\frac{1}{8}\)：\(\int_0^1 8 \cdot \frac{1}{8} \cdot x \cdot \sqrt{1+4x^2} dx\)
  代入并化简得到：\(\int_0^1 \frac{1}{8} \sqrt{1+4x^2} d(1+4^2)\)
• 计算
  计算化简后得到的积分函数。
  因为 \(\int_0^1 \frac{1}{8} \sqrt{1+4x^2} d(1+4^2)\) 是对 \(1+4^2\) 进行积分，因此根号内的部分可以看作一个整体的自变量进行积分计算。而 \(\frac{1}{8} \)作为常数，可以提到积分外部。并将根式转换为幂次式。
  原式变为：\( \frac{1}{8} \int_0^1 (1+4x^2)^{\frac{1}{2}}d(1+4x^2)\)
• 计算积分
  \begin{eqnarray}
  && \frac{1}{8} \int_0^1 (1+4x^2)^{\frac{1}{2}}d(1+4x^2) \\
  &=& \frac{1}{8} \cdot \Bigg[ \frac{2}{3}(1+4x^2)^{\frac{3}{2}} \Bigg|_0^1 = \frac{10}{3}\sqrt{5} – \frac{2}{3}\Bigg] \\
  &=& \frac{1}{8} \cdot \Bigg( \frac{10}{3}\sqrt{5} – \frac{2}{3}\Bigg) \\
  &=& \frac{5}{12}\sqrt{5} – \frac{1}{12}
  \end{eqnarray}

特别注意

1. 若 \(f(x,y) = 1\)，则\(\int_Lf(x,y)ds = L\)（曲线积分结果等于积分曲线长度）
2. 曲线 L 关于 x/y 轴对称，且被积函数 f(x,y) 在 y/x 轴关于原点中心对称，\(int_Lf(x,y)ds = 0\)。
3. 曲线 L 关于 x/y 轴对称，且被积函数 f(x,y) 关于 y/x 轴对称，\(int_Lf(x,y)ds = 2\int_{L’}f(x,y)ds\)。

封闭曲线积分号

$$\oint_{L}$$

轮换对称性

若积分曲线 \(\int_Lf(x,y)ds\) 具有轮换对称性：X 换 Y,Y 换 X，L 不变：
则 \(\int_Lf(x)ds = \int_Lf(y)ds\)
即 \(\int_Lf(x)ds = \frac{1}{2}\Bigg[\int_Lf(x)ds+\int_Lf(y)ds\Bigg]\)

第二类曲线积分

——（对坐标的曲线积分）

记作：\(\int_LP(x,y)dx + Q(x,y)dy\)

第二类曲线积分只讨论起点和终点，不讨论其大小。

解题纲要

• 首先画图确定 L 的函数
  \(y=f(x)\)
  \(x=f(y)\)
  \(\left\{\begin{array}{l}x=x(t)\\y=y(t)\end{array}\right.\)
• 统一变量（关于谁，谁不变）
  • 关于 X：将 \(\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy\) 中的 Y 变为 X，其中 dy 变为函数对 X 求导再乘以dx：
    \(\int_L\{P(x,f(x)) + Q[x,f(x)] \cdot f'(x)\} dx\)
  • 关于 Y：将 \(\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy\) 中的 X 变为 Y，其中 dx 变为函数对 Y 求导再乘以dy：
    \(\int_L\{P[f(y),y] \cdot f'(y) + Q(f(y),y)\} dy\)
  • 关于 T：将 \(\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy\) 中的 X 和 Y 变为 T：
    \(\int_L\{P[x(t),y(t)] \cdot x'(t) + Q[x(t),y(t)] \cdot y'(t)\} dt\)

特别注意

当存在形如 \(\int_L xy dx\) 时，看起来是第一类曲线积分。但其依然是第二类曲线积分。第二类曲线积分的代数式中若未写明 dx 或 dy，则代表未写明的部分为 0；相对应的再次强调，第一类曲线积分的写法为：\(\int_l f(x,y)ds\)，最后结尾为 \(ds\)

格林公式

对于封闭曲线的求第二类曲线积分，可以使用更为简便的格林公式：

$$\int_L P(x,y) dx + Q(x,y) dy = ±\iint\limits_D (\frac{∂Q}{∂x} – \frac{∂P}{∂y}) dxdy$$

其中：

• D 是由封闭曲线 L 围成的区域。
• 等号后的求偏导为 Q 对 X 求偏导，P 对 Y 求偏导，与等号前完全相反。
• 积分路径 ±。
  如何判断积分路径的正负性：
  • 设一质点沿曲线 L 运行，其左侧若始终为围成区域 D，则积分路径为 +（等号后取正值），反之则积分路径为 -（等号后取负值）。
    *题目中会给出 L 的方向（顺/逆时针等）
  • 当围成区域内部没有「洞」（即围成区域为实心），则第一点中的质点运行逆时针为正，顺时针为负。

例题引航

【特殊题】缺线补线型
重点：★★★★★
计算 \(\int_L(e^x\sin y – 2y) dx + (e^x \cos y – 2) dy\)，其中 L 围逆时针上半圆周 \((x-a)^2 + y^2 = a^2, \; y≥ 0\).

如上图，对于此类难以用常规第二类曲线积分求解的题，可以采用「构造封闭曲线」后使用格林公式进行解题。步骤大致如下：

• 构造 L2，形成封闭曲线
• 求原题中 P、Q 偏导数
  $$
  \left \{ \begin{array}{l}
  \frac{∂Q}{∂x} = e^x \cos y \\
  \frac{∂P}{∂y} = e^x \cos y – 2
  \end{array} \right.
  $$
• 利用格林公式求出此封闭曲线的积分
  由于 \(\int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy = ±\iint\limits_D \frac{∂Q}{∂x} – \frac{∂P}{∂y} dxdy\)，得出原式变为：
  $$\iint\limits_D e^x \cos y – e^x \cos y – 2 dxdy$$
  基于二重积分知识，计算得出如下过程和答案：
  $$
  \begin{eqnarray}
  && && \iint\limits_D e^x \cos y – e^x \cos y – 2 dxdy \\
  && &=& \iint\limits_D 2\;dxdy \\
  &\text{∵} & && 2 \iint\limits_D dxdy = 2 \cdot S \\
  &\text{∴} & \text{原式} &=& 2 \cdot \frac{1}{2} \pi R^2 \\
  &\text{∵} & R = a \\
  &\text{∴}& &=& \pi a^2
  \end{eqnarray}
  $$
• 计算额外多出来的 \(L_2\) 的积分，
  $$
  \begin{eqnarray}
  &\text{∵} & &&L_2: y = 0 \\
  &∴& &&\int_L(e^x\sin y – 2y) dx + (e^x \cos y – 2) dy\; \text{中} \\
  && &&dy = 0\ \text{且} \ e^x\sin y – 2y = e^x \sin 0 – 2 \cdot 0 \\
  &∴ & &&\int_L(e^x\sin y – 2y) dx + (e^x \cos y – 2) dy \\
  && &=& \int_L 0dx + 0 \\
  && &=& 0
  \end{eqnarray}
  $$
• 用求得的封闭曲线积分减去 \(L_2\)
  $$
  \begin{eqnarray}
  L_1 – L_2 & = & \pi a^2 – 0 \\
  & = & 0
  \end{eqnarray}
  $$