第一类曲面积分
形如 \(\iint\limits_\Sigma f(x,y,z)dS\) 被称为第一类曲面积分。其解题步骤如下：
- 确定积分曲面
确定积分曲面 \(\Sigma: z=z(x,y)\) - 计算获得 \(dS\)
\(dS = \sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\;dxdy\) - 投影确定区域 \(D_{xy}\)
- 计算投影重积分
\(\iint\limits_\Sigma f(x,y,z)dS = \iint\limits_{D_{xy}} f[x,y,z(x,y)] \cdot \sqrt{1+z_x^2 + z_y^2}\ dxdy\)
奇偶性性质
与第一类曲线积分相似，当 \(\Sigma\) （被积区域）关于 xoy / yoz / xoz 平面对称，且 \(f(x,y,z)\) 关于 z / x / y 为奇函数，则：
$$\iint\limits_{\Sigma}f(x,y,z)dS = 0$$
当 \(\Sigma\) （被积区域）关于 xoy / yoz / xoz 平面对称，且 \(f(x,y,z)\) 关于 z / x / y 为偶函数，则：
$$\iint\limits_{\Sigma}f(x,y,z)dS = 2 \iint\limits_{\Sigma ‘}f(x,y,z)dS$$
若 \(\Sigma\) 具有轮换对称性，则 \(\iint\limits_{\Sigma}f(x)dS = \iint\limits_{\Sigma}f(y)dS = \iint\limits_{\Sigma}f(z)dS \)
第二类曲面积分
形如：\(\iint\limits_{\Sigma} P(x,y,z)dydz + Q(x,y,z)dxdz + R(x,y,z)dxdy\)
如何计算第二类曲面积分？以求最后部分 \(R(x,y,z)dxdy\) 为例：
- 确定积分曲面
确定积分曲面 \(\Sigma: z=z(x,y)\) - 投影积分曲面
将积分曲面 \(\Sigma\) 投影到 \(xoy\) 上 - 计算公式
\(\iint\limits_{\Sigma} R(x,y,z)dxdy = ±\iint\limits_{D_{xy}} R[x,y,z(x,y)] dxdy \)
其中，题目中说 \(\Sigma\) 沿积分曲面向上、向前、向右方向则±取正，反之取负。
例如：
计算曲面积分 \(\iint\limits{\Sigma} z dxdy \)，其中 \(\Sigma\) 为球面 \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\) 上侧在 \( x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0\) 部分。
这里面，所要计算的只有 \(R(x,y,z)dxdy\)，且 \(\Sigma\) 为球面上侧，最后积分取 +。
特别提醒
当 \(x , y, z\) 任意为常数时，其对应 \(dx, dy, dz\) 为 0.
例如，若 \(z = 0\)，则 \(dz = 0\).
高斯公式
—— 格林公式进阶版
定义
若积分曲面 \(\Sigma\) 为封闭曲面，则存在如下替换：
$$\iint\limits_{\Sigma} P(x,y,z) dydz + Q(x,y,z)dxdz + R(x,y,z)dxdy = ± \iiint\limits_{\Omega} \Bigg( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \Bigg ) dxdydz$$
其中，若题目所求 \(\Sigma\) 为沿曲面外侧，则 ± 取正，反之沿曲面内侧则取负。
缺面补面型：
参考 高等数学: 曲线积分 中格林公式的缺线补线型解法。
- 将缺省曲面构建为封闭曲面，使用高斯公式计算。
- 计算补充面的积分（将补充面代入到待求积分公式中）。
- 用封闭曲面计算的积分结果减去平面的积分结果，结果为缺省曲面的曲面积分。