| 考点 | 重要程度 | 常见题型 |
|---|---|---|
| 条件概率公式和乘法公式 | 必考 | 大题 |
| 全概率公式和贝叶斯公式 | 必考 | 大题 |
条件概率公式
$$
\left \{ \begin{array}{l}
P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} \\
P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}
\end{array} \right.
$$
公式详细解析
\(P(\text{🟥}|\text{🟦})\)
该式子的含义表示为：当 🟦 发生的情况下，🟥 发生的概率。
\(P(\text{🟥}|\text{🟦}) = \frac{P(\text{🟥🟦})}{P(\text{🟥})}\)
该公式的含义可看作：
$$
P(\text{🟥}|\text{🟦}) = \frac{\text{🟥 与 🟦 同时发生的可能性}}{\text{🟥 发生的可能性}}
$$
乘法公式
由上文的条件概率公式，通过等号两侧的移项等操作，我们可以得到下面这个式子：
$$P(\text{🟥🟦}) = P(\text{🟥}|\text{🟦}) \times P(\text{🟦})$$
变换过程
以 \(P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}\) 为例：
$$
\begin{eqnarray}
&& P(A|B) &=& \frac{P(AB)}{P(B)} \\
&\text{等式互换}& \frac{P(AB)}{{\color{Red} {P(B)}}} &=& P(A|B) \\
&& {P(AB)} &=& P(A|B) \times {\color{green} {P(B)}} \\
\end{eqnarray}
$$
全概率公式
概述
当存在一个事件 A，它的发生依赖于若干种不同的前置情形（B₁、B₂、B₃…（这些情形都可以促成 A 的发生））。当这些前置的情形互斥且能穷尽全部可能时，可以使用全概率公式求 A 的总概率。
在某一游戏中，存在两种卡池，卡池中最高品质卡为五星，设事件 \(B_1\) 为抽取限定角色卡池，\(B_2\) 为抽取限定武器卡池。设某玩家选择 \(B_1\) 和 \(B_2\) 的抽数占比分别占总抽卡量的 75% 和 25%，限定角色卡池的五星卡抽取概率为 0.6%，限定武器卡池的五星卡抽取概率为 0.7%。
- 求玩家在该游戏中抽卡为五星卡的概率。
- 若抽出的卡为五星卡，求其是从限定角色卡池中抽出的概率。
在以上场景中，存在两种卡池出金事件的概率，同时存在「玩家选择某卡池进行抽卡」这一前置事件的概率，则可使用全概率公式求解「玩家在该游戏卡池中抽卡为五星的总概率」。
全概率公式
$$P(A) = \sum_{i=1}^{n} \Big[ P(B_i) \times P(A|B_i) \Big]$$
解题步骤：
- 设 A 为发生的事件
- 找出完备事件组 B
- 写出 \(P(B_i)\) 和 \(P(A|B_i)\)
- 代入全概率公式求解
以上一个例题引航的指引例题 1 为例。设事件 A 为卡池出金的概率。通过事件 A，找出完备事件：
- \(B_1\)：抽取限定角色卡池；
- \(B_2\)：抽取限定武器卡池。
由上述可得：
$$
\left\{ \begin{array}{l}
\begin{eqnarray}
P(B_1) &=& 0.75 \\
P(B_2) &=& 0.25 \\
P(A|B_1) &=& 0.006 \\
P(A|B_2) &=& 0.007
\end{eqnarray}
\end{array} \right.
$$
将以上值代入到全概率公式中，计算可得：
$$
\begin{eqnarray}
P(A) &=& P(B_1) \cdot P(A|B_1) + P(B_2) \cdot P(A|B_2) \\
&=& 0.75 \times 0.006 + 0.25 \times 0.007 \\
&=& 0.00625 \\
&=& 0.63\%
\end{eqnarray}
$$
贝叶斯（逆概）公式
概述
$$P(B_i|A) = \frac{P(B_i) \times P(A|B_i)}{P(A)}$$
贝叶斯公式计算的是用于【全概率公式·例题引航】的指引例题 2 类似的问题。 该公式表达的意思是：当事件 A 发生的情况下，\(B_i\) 发生的概率是事件 A 和 B 交积的概率除以事件 A 发生的概率：
$$P(B_i|A) = \frac{P(AB_i)}{P(A)}$$
换句话说，该式子在求「当抽卡为五星卡（事件 A 触发）且是从限定角色卡池（与事件 B 的交积）（原因与结果同时发生的概率）」占「发生的全部可能来源」的比例。
即：
「在事件 A 已经发生的情况下，事件 \(B_i\) 是导致 A 发生的那部分的比例。」
将【全概率公式·例题引航】的数值和在指引例题 1 中得到的 \(P(A)\) 代入贝叶斯公式，可得：
$$
\begin{eqnarray}
P(B_1|A) &=& \frac{P(B_1) \times P(A|B_1)}{P(A)} \\
&=& \frac{0.75 \times 0.006}{0.00625} \\
&=& 0.72 \\
&=& 72\%
\end{eqnarray}
$$
